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【話題肥皂箱】交會之點與座標-定位系統之數學密碼解密

坐標是不是從棋盤開始的呢?其實，西洋棋棋盤上的每一格都有對應的字母和數字編號，例如「E4」，看起來真的很像坐標，但它並不是坐標最早的用途。因為比起尋找棋子，古人更想知道天空中的星星和地面上的城市究竟在哪裡。
從定位星星和城市開始
古希臘天文學家(占星學家)會記錄星星的位置，地理學家則利用經度和緯度，把城市、河流與山脈標示在地圖上“到了西元二世紀時，托勒密已經能夠利用經緯網格，記錄當時已知的世界範圍內約八千個地點雖然這不是我們今天所學的直角坐標，卻已經掌握了坐標的核心概念:利用兩個方向的數值，精確地說明一個位置棋盤上的字母和數字，是後來才出現的定位方法，它的原理就是沿用坐標的方式來精準描述位置。到了十七世紀，笛卡兒與費馬進一步把位置、圖形和算式連結起來，才逐漸發展出今天大家所熟悉的直角坐標。坐標的發明不是為了增加你的數學作業，而是為了解決人類長久以來的大問題天上的星星、海上的船與地圖上的城市，到底要怎麼告訴世人它在哪裡？
雷達上的位置編碼
無人機升空了!一架、兩架、三架……當數十架無人機同時飛上天空，從地面抬頭看，只見一個個小黑點在空中不斷移動。哪一架是哪一架?怎麼表達出來?到了監控或雷達畫面上，天空中的飛行器又變成一個個密密麻麻的小亮點。「老師，這麼多點，怎麼知道哪一個點是哪一架無人機呢?」這時候，坐標就派上用場了。無人機飛行需要位置資料，飛機導航需要位置資料，船舶航行也需要位置資料。有了坐標，就能替每一個位置編上一組清楚的「空間門牌」在實際使用時，航空雷達會顯示目標的位置，管制系統還會利用識別碼、飛行資料或特定動作，來確認畫而上的目標究竟是哪一架飛行器。也就是說，坐標負責回答「它在哪裡」，系統資料則進一步回答「它是誰」。
註：國際通用的經緯度坐標為「先緯後經」(先y再x)，與一般直角坐標的寫法相反。

先找出坐標世界的核心
要建立直角坐標，首先在平面上畫一條水平的數線，稱為x軸，再畫一條鉛直的數線，稱為y軸。兩條數線互相垂直，交會的地方稱為原點，用英文字母0表示，坐標是(0，0)，我們可以把無人機的控制中心設定在原點。接下來，畫面上每一架無人機的位置，都以控制中心作為基準來判斷·原點就像坐標世界的總部，也是第三象限第象限判斷所有方向的核心往右，x坐標是正數，往左，x坐標是負數；往上，y坐標是正數；往下，y坐標是負數。
平面上的每一個點，都可以用一組有順序的數字表示。例如：無人機A的位置是A（3，2）。第一個數字3是x坐標，表示從原點向右三個單位；第二個數字2是y坐標，表示再向上兩個單位。
所以，讀坐標時，一定要記住：先左右，再上下；先讀x，再讀y。
假設在雷達的畫面上，有兩架無人機：A的位置是（4，3）；B的位置是（3，4）。（4，3）表示先向右四格，再向上三格；（3，4）則是先向右三格，再向上四格。只要把數字的順序交換，位置就完全不同了！
這就像是進電影院的時候，你的座位是「第四排3號」和「第三排4號」，雖然都是3和4的組合，卻是兩個不同的座位。如果自己找錯位子，還指著別人說他坐錯位子，那就真的好笑了！
直角坐標系的規則
坐標中的兩個數字稱為「數對」，而且是一組有順序的數對。第一個數字一定代表水平方向，第二個數字一定代表鉛直方向。
從坐標系右上方開始，按照逆時針方向排列，依序是：第一、第二、第三、第四象限。
第一象限（右上）：（x 正，y 正）
第二象限（左上）：（x 負，y 正）
第三象限（左下）：（x 負，y 負）
第四象限（右下）：（x 正，y 負）
例如：（4，3）在第一象限；（－4，3）在第二象限；（－4，－3）在第三象限；（4，－3）在第四象限。
要特別注意的是，坐標軸上的點不屬於任何象限。例如：（0，5）的 x 坐標是 0，表示它沒有向左或向右移動，因此位在 y 軸上；（－3，0）的 y 坐標是 0，所以位在 x 軸上；（0，0）則位於原點。
假設無人機 A 位在（2，4），無人機 B 位在（7，4）。兩架無人機的 y 坐標相同，表示它們位於相同高度；只要比較 x 坐標，就能知道水平方向的距離為 7－2＝5，相距五個單位。當無人機 B 從（7，4）移動到 C（7，1）時，x 坐標沒有改變，表示它沒有向左或向右移動；y 坐標從 4 變成 1，代表它向下移動了 4－1＝3，也就是下移三個單位。

坐標不只能標示位置，也能描述移動的方向與距離。操作人員比較不同時間的坐標，就能看出飛行器往哪裡移動、移動了多遠，以及是否與其他飛行器靠得太近。不過，真實世界中的無人機是在立體空間飛行，除了左右與前後的位置，還必須加上「高度」。我們現在學習的（x，y）是平面坐標；到了高中，還會接觸（x，y，z）的空間坐標，利用第三個數字表示高度。
下次觀看無人機表演時，你會發現上百甚至上千架無人機能同時在空中移動，排列出栩栩如生的動畫與圖案，卻不會互相碰撞。這是因為每架無人機都有自己的位置坐標、飛行路線與移動時間。控制系統會事先安排它們在不同時間通過不同位置，並保持足夠的安全距離，才能讓整場表演整齊又安全。
坐標的實際應用
我們可以把地球看成一個大型球體坐標系，那麼地球坐標的（0，0）在哪裡？
地球坐標的（0，0）（即 0°N，0°E）位在大西洋的「幾內亞灣」海面上，距離西非國家迦納南方約六百公里處。工程師幽默地稱這裡為「虛無島」（Null Island）。每當地圖 APP 或 GPS 出錯、抓不到正確位置（系統預設值回傳 0 或 NULL）時，定位紅點就會被自動丟到這片無人的海面上！
你會查自己學校的坐標嗎？想知道學校或家附近的坐標，其實很簡單！用電腦開啟 Google 地圖，找到想查詢的位置後，按一下滑鼠右鍵，選單最上方就會顯示一組坐標。第一個數字是緯度，表示南北位置；第二個數字是經度，表示東西位置。使用手機時，開啟 Google 地圖，在沒有地名標示的位置長按一下，放下一枚紅色圖釘，畫面上便會顯示該地點的經緯度坐標。
現在請你來猜猜看：（25.040，121.512）是哪裡呢？把這組數字輸入 Google 地圖，就會來到總統府。原來，一組看似普通的數字，就像是地球上的專屬門牌，能帶我們找到精確的位置！

算錯坐標，可能改變歷史？
據說哥倫布是因為算錯坐標，才發現美洲的，這是真的嗎？更精確地說，哥倫布並不是單純把某一個坐標算錯，而是對地球大小、亞洲範圍和航行距離的估計出現了嚴重誤差。1492 年，哥倫布率領船隊向西航行，希望找到前往亞洲的新航路。他知道地球是球形，卻低估了地球的周長，同時高估了亞洲向東延伸的範圍，因此以為只要向西航行一段距離，很快就能抵達亞洲。最終，他到達了加勒比海地區。這次錯誤的估計，意外開啟了歐洲人前往美洲的新航線，也改變了後來的世界歷史。這正是「失之毫釐，差之千里」的例子。
數學不只要算出答案，還要確認基準、單位、方向和資料是否正確。在方格紙上，坐標差一格可能只差一公分；但放到海洋、天空，甚至整個地球上，一點點角度或距離的誤差，就可能相差數十、數百，甚至上千公里。
直角坐標最厲害的地方，就是能把平面上複雜的位置，濃縮成兩個簡單而有順序的數字。原點是判斷方向的核心，正負號指引我們該往哪裡走，而每一組坐標，都是畫面上獨一無二的亮點。
只要牢記這個黃金口訣：橫 x、直 y；先左右、再上下。無論是雷達上的無人機、遊戲裡的藏寶圖，都可在坐標內精準掌控。